Kamis, 18 Oktober 2018

Ayo belajar INVERS MATRIKS METODE ADJOINT



INVERS MATRIKS

METODE ADJOINT MATRIK

  Yakni mendeterminankan ordo 3 x 3 atau 4x4 dengan rumus



yang jika ordonya 3 x 3 dan 4 x 4 maka untuk mencari det(A) nya adalah dengan metode sarrus

dan ada pola tertentu seperti ini :



Contoh soalnya adalah :





Metode Operasi Elementer Baris

Metode ini terbilang rumit untuk dipahami, harus dengan teliti dan hati hati setiap langkah dalam mempelajarinya. Langsung saja aturannya :

Untuk menentukan solusi dari SPL dilakukan dengan cara membentuk matrik yang diperluas/diperbesar dari SPL dan melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar tersebut. OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematik.

1. Kalikan persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol.
2. Pertukarkan dua persamaan tersebut.
3. Tambahkan kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya.

Berikut contoh soal menghitung invers matriks:
Carilah invers matriks A jika diketahui :


Pembahasannya :

Langkah 1:

Karena ukuran matriks A3x3 Maka ditambahkan identitas Matriks A dimana I3x3.

Langkah 2:
Sekarang kita lakukan OBE seperti berikut ini. (lihat keterangan di bawah setiap langkahnya).




1) (b =baris , k = kolom) ; b1k1,karena nilai entri sudah 1, maka dibiarkan. Tugas kita harus mengubah b2 k1 menjadi nol. Agar nol kita lakukan R2−2R1→R2.  "baris dua yang baru sama dengan baris 2 - dua kali baris 1" Dengan bentuk umum tersebut bisa didapat b2k1 =0. Sementara untuk baris 2 dan kolom lainnya dilakukan hal serupa, hitung saja tak usah dipedulikan.
Agar menjadi seperti identitas kita juga butuh b3 k1 = 0. Oleh sebab itu kita lakukan R3−R1→R3. Lakukan ini pada baris 3 dan kolom lainnya. Sehingga entri kolom 1 (harus ) didapat seperti matriks identitas (1,0,0).

2) Dengan OBE, sekarang kita lakukan pada kolom ke-dua. Carilah faktor pengali agar entri yang dilewati diagonal utama pada kolom kedua menjadi 0 (dalam soal ini angka sudah 1) Sama dengan cara di atas maka dicari OBE agar kolom dua bisa bernilai seperti matriks identitas (x,1,0). Operasi OBE yang sesuai bisa dilihat pada langkah di atas.

3) Sama dengan langkah sebelumnya. Carilah OBE agar kolom 3 bernilai ( x,x,1).
4) Lakukan OBE agar matriks segi tiga atasnya entri selain diagonal utama bisa menjadi nol. Perhatika angka 2,3 dan -3. ( b1k2, b1k3 dan b2k3)

5) Akhirnya didapat bagian matriks A menjadi identitas (kotak hijau). Sementara matriks Identitas awal akan membentuk sebuah matrik (kotak merah).

Langkah 3:

Setelah pada langkah 2 di atas. Saya beri tanda kotak hijau dan merah. Invers dari matriks A adalah bagian yang berwarna merah. Itulah cara mencari invers matriks dengan OBE atau operasi baris elementer.
Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Selasa, 02 Oktober 2018

Ayo belajar matriks doolittle

Dekomposisi Matriks dengan Metode Doolittle

Dekomposisi Matriks dengan Metode Doolittle


 
difaktorisasi menjadi:
 
Pada dekomposisi LU metode Doolittle, semua komponen diagonal matriks L bernilai 1 sehingga representasi matriks di atas menjadi:


Untuk menghitung setiap komponen matriks L dan U dari matriks A dengan ukuran n x n dapat dengan menggunakan algoritma sebagai berikut:
1. Dapatkan nilai matriks U pada baris pertama:
    untuk i = 1 sampai n

2. Hitung nilai:
    untuk i=2 sampai n
3. untuk i = 2 sampai n-1

 

                   untuk j = i + 1 sampai n

 




4. Hitung indeks terakhir:


                             
Proses dekomposisi selesai sampai disini, proses berikutnya adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier nya.

Dari dekomposisi berikut:

Matriks L dan U sudah kita dapatkan, dan dengan memisalkan:
maka
untuk mendapatkan nilai vektor y dapat dilakukan dengan substitusi maju sebagai berikut:

untuk i=2 sampai n
nilai vektor x didapatkan dengan melakukan substitusi mundur persamaan:
dengan cara:
untuk i=n-1 sampai 1

Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Rabu, 26 September 2018

Ayo Belajar Determinan Metode Chio

DETERMINAN METODE CHIO
Determinan merupakan suatu fungsi dari himpunan semua matriks persegi ke himpunan semua bilangan real. Determinan matriks A biasanya dinyatakan oleh |A| atau det(A). Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yaitu metode Sarrus, Ekspansi Kofaktor, dan Kondensasi (Penyusutan) CHIO. Kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo n \times n dengan n \geq 3.
Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo n \times n menjadi ordo (n-1) \times (n-1) dan dikalikan dengan elemen a_{11}. Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matriks ordo 2 \times 2. Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen a_{11} \neq 0. Apabila nilai elemen a_{11} = 0 maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh a_{11} \neq 0.
Perhatikan untuk matrik dengan ordo 3 \times 3. Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.
det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \end{vmatrix}
Selanjutnya untuk matrik dengan ordo 4 \times 4. Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.
det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{31} & a_{34} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{41} & a_{43} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{41} & a_{44} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}
Apabila ukuran matriksnya diperluas atau diperumum menjadi n \times n, maka diperoleh persamaan untuk metode CHIO adalah sebagai berikut.
det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{n-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{2n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{31} & a_{3n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{n1} & a_{n2} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{n1} & a_{n3} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{n1} & a_{nn} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}
Contoh 1.
Hitung determinan matriks A = \begin{bmatrix} -2&1&4\\ 3&-5&2\\ 5&2&1 \end{bmatrix}.
Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat
det(A) = \dfrac{1}{(-2)^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} -2&1\\ 3&-5 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 3&2 \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} -2&1\\ 5&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 5&1 \end{vmatrix} \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} (-5)(-2)-(3)(1) & (-2)(2)-(3)(4)\\ (-2)(2)-(1)(5) & (-2)(1)-(4)(5) \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} 7&-16\\ -9&-22 \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{-2} (7 \cdot -22-(-16) \cdot -9)
= \dfrac{1}{-2} (-154-144)
= \dfrac{1}{-2} (-298)
= -149
Contoh 2.
Hitung determinan matriks B = \begin{bmatrix} 2&1&6&7\\ 3&2&4&5\\ 4&4&2&3\\ 5&6&1&4 \end{bmatrix}.
Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat
det(B) = \dfrac{1}{(2)^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 2&1\\ 3&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 3&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 3&5 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\ 4&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 4&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 4&3 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\ 5&6 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 5&1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 5&4 \end{vmatrix} \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{2^2} \begin{vmatrix} (2)(2)-(3)(1) & (2)(4)-(3)(6) & (2)(5)-(3)(7)\\ (2)(4)-(1)(4) & (2)(2)-(4)(6) & (2)(3)-(7)(4)\\ (2)(6)-(1)(5) & (2)(1)-(6)(5) & (2)(4)-(7)(5) \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{4} \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}
Misal C = \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}, diperoleh
det(C) = \dfrac{1}{1^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 1&-10\\ 4&-20 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 4&-22 \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} 1&-10\\ 7&-28 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 7&-27 \end{vmatrix} \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{1} \begin{vmatrix} (1)(-20)-(4)(-10) & (1)(-22)-(-11)(4)\\ (1)(-28)-(-10)(7) & (1)(-27)-(-11)(7) \end{vmatrix}
= \begin{vmatrix} 20 & 22\\ 42 & 50 \end{vmatrix}
= (20 \cdot 50-22 \cdot 42
= 1000-924
= 76
Jadi,
det(B) = \dfrac{1}{4} det(C)
= \dfrac{1}{4} (76)
= 19

SIFAT DETERMINAN
Teorema  4. Jika A adalah sembarang matiks kuadrat, maka det (A) =det (At).
Pada bagian ini kita akan mengembangkan beberapa sifat-sifat dasar fungsi determinan. Apa yang kita lakukan disini akan memberi kita suatu wawasan yang lebih luas mengenai hubungan antara suatu suatu matriks bujur sangkar dan determinannya. Salah satu konsekuensi segera dari materi ini adalah suatu uji determinan untuk ada atau tidaknya invers suatu matriks.

1.      SIFAT-SIFAT DASAR DETERMINAN

Anggap A dan B adalah matriks n x n dan k adalah sebarang scalar. Kita mulai dangan mengkaji hubungan yang mungkin antara det(A), det(B),

det(kA), det(A + B), dan det(AB)

karena semua factor umum dari setiap baris suatu matriks bisa dipindah melalui tanda setiap det, dan karena setiap n baris dalam KA mempunyai suatu factor umum  k, maka kita peroleh

misalnya,  
                    


Sayangnya, secara umum tidak ada hubungan sedrhana antar determinan – determinan det(A), det(B), dan det (A+B). secara khusus,kami menekankan bahwa det(A+B) biasanya tidak  sama dengan det(A) + det(B). contoh berikut ini mengilustrasikan fakta tersebut,
            Contoh 1 Tinjau
                              




Jawab :
det(A) + det(B) = 1 + 8 = 9
 
            det(A) = (1)(5) - (2)(2) = 5 – 4 = 1 
            det(B) = (3)(3) - (1)(1) = 9 – 1 = 8
            det(A+B) = (4)(8) - (3)(3) = 32 – 9 = 23
            jadi det(A+B) ≠ det(A) + det(B).



SIFAT-SIFAT FUNGSI DETEREMINAN


         

 
Teorema  4. Jika A adalah sembarang matiks kuadrat, maka det (A) =det (At).
  



Pernyataan. Karena hasil ini, maka hampir tiap-tiap teorema mengenai determinan yang mengandung perkataan baris dalam pernyataannya akan benar juga bila perkataan “kolom” disubstitusikan untuk “baris”. Untuk membuktikan pernyataan kolom, kita hanya perlu mentranspos (memindahkan) matriks yang di tinjau untuk mengubah pernyataan kolom tersebut pada pernyataan baris, dan kemudian menerapkan hasil yang bersesuaian yang sudah kita ketahui untuk baris.
Contoh
Hitunglah determinan dari

Determinan ini dapat di hitung seperti sebelumunya dengan menggunakan operasi baris elementer untuk mereduksi A pada bentuk eelon baris. Sebaliknya, kita dapat menaruh A pada bentuk segitiga bawah dalam satu langkah dengan menambahkan -3 kali kolom pertama pada kolom keempat untuk mendapatkan

Contoh ini menunjukkan bahwa selalu merupakan hal yang bijaksana untuk memperhatikan operasi kolom yang tepat yang akan meringkaskan perhitungan tersebut.
Misalkan A dan B adalah matriks-matriks n x n dan k adalah sebarang skalar. Kita karang meninjau hubungan yang mungkin di antara det(A), det(B), dan 

det(kA), det(A + B), dan det(AB)

karena sebuah faktor bersama dari sebarang baris matriks dapat dipindahkan melalui tanda det, dan karena setiap baris n baris dalam kA mempunyai factor bersama sebesr k, maka kita dapatkan
det(kA) = kn det(A)
Teorema 5.  Misalkan A, A’, dan A” adalah matiks n x n yang hanya berbeda dalam garis tunggal, katakanlah baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke r dari A dan dalam baris ke r dari A’. Maka
det(A”) = det (A) + det (A’)
Hasil yang serupa berlaku untuk kolom-kolom itu.
  





Contoh 
Dengan menghitung determinan, anda dapat memeriksa bahwa


Teorema 6.  Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka
det(AB) = det(A)det(B)
 
  



Contoh
Tinjaulah matriks-matriks                   
                       
Kita peroleh det(A) det(B) = (1) (-23) = -23. Sebaliknya dengan perhitungan langsung maka det(AB) = -23, sehingga det(AB) = det(A) det(B).


Teorema 7.  Sebuah matriks A kuadrat dapat di balik jika dan hanya jika det(A) ¹0
 
  


Contoh
Karena baris pertama dan baris ketiga dari
                                    
Sebanding, maka det(A) = 0, jadi A tidak dapat dibalik
DETERMINAN METODE CHIO
Determinan merupakan suatu fungsi dari himpunan semua matriks persegi ke himpunan semua bilangan real. Determinan matriks A biasanya dinyatakan oleh |A| atau det(A). Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yaitu metode Sarrus, Ekspansi Kofaktor, dan Kondensasi (Penyusutan) CHIO. Kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo n \times n dengan n \geq 3.
Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo n \times n menjadi ordo (n-1) \times (n-1) dan dikalikan dengan elemen a_{11}. Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matriks ordo 2 \times 2. Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen a_{11} \neq 0. Apabila nilai elemen a_{11} = 0 maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh a_{11} \neq 0.
Perhatikan untuk matrik dengan ordo 3 \times 3. Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.
det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \end{vmatrix}
Selanjutnya untuk matrik dengan ordo 4 \times 4. Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.
det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{31} & a_{34} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{41} & a_{43} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{41} & a_{44} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}
Apabila ukuran matriksnya diperluas atau diperumum menjadi n \times n, maka diperoleh persamaan untuk metode CHIO adalah sebagai berikut.
det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{n-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{2n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{31} & a_{3n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{n1} & a_{n2} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{n1} & a_{n3} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{n1} & a_{nn} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}
Contoh 1.
Hitung determinan matriks A = \begin{bmatrix} -2&1&4\\ 3&-5&2\\ 5&2&1 \end{bmatrix}.
Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat
det(A) = \dfrac{1}{(-2)^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} -2&1\\ 3&-5 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 3&2 \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} -2&1\\ 5&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 5&1 \end{vmatrix} \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} (-5)(-2)-(3)(1) & (-2)(2)-(3)(4)\\ (-2)(2)-(1)(5) & (-2)(1)-(4)(5) \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} 7&-16\\ -9&-22 \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{-2} (7 \cdot -22-(-16) \cdot -9)
= \dfrac{1}{-2} (-154-144)
= \dfrac{1}{-2} (-298)
= -149
Contoh 2.
Hitung determinan matriks B = \begin{bmatrix} 2&1&6&7\\ 3&2&4&5\\ 4&4&2&3\\ 5&6&1&4 \end{bmatrix}.
Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat
det(B) = \dfrac{1}{(2)^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 2&1\\ 3&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 3&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 3&5 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\ 4&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 4&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 4&3 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\ 5&6 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 5&1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 5&4 \end{vmatrix} \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{2^2} \begin{vmatrix} (2)(2)-(3)(1) & (2)(4)-(3)(6) & (2)(5)-(3)(7)\\ (2)(4)-(1)(4) & (2)(2)-(4)(6) & (2)(3)-(7)(4)\\ (2)(6)-(1)(5) & (2)(1)-(6)(5) & (2)(4)-(7)(5) \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{4} \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}
Misal C = \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}, diperoleh
det(C) = \dfrac{1}{1^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 1&-10\\ 4&-20 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 4&-22 \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} 1&-10\\ 7&-28 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 7&-27 \end{vmatrix} \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{1} \begin{vmatrix} (1)(-20)-(4)(-10) & (1)(-22)-(-11)(4)\\ (1)(-28)-(-10)(7) & (1)(-27)-(-11)(7) \end{vmatrix}
= \begin{vmatrix} 20 & 22\\ 42 & 50 \end{vmatrix}
= (20 \cdot 50-22 \cdot 42
= 1000-924
= 76
Jadi,

det(B) = \dfrac{1}{4} det(C)

= \dfrac{1}{4} (76)
= 19

SIFAT DETERMINAN
Teorema  4. Jika A adalah sembarang matiks kuadrat, maka det (A) =det (At).
Pada bagian ini kita akan mengembangkan beberapa sifat-sifat dasar fungsi determinan. Apa yang kita lakukan disini akan memberi kita suatu wawasan yang lebih luas mengenai hubungan antara suatu suatu matriks bujur sangkar dan determinannya. Salah satu konsekuensi segera dari materi ini adalah suatu uji determinan untuk ada atau tidaknya invers suatu matriks.

1.      SIFAT-SIFAT DASAR DETERMINAN

Anggap A dan B adalah matriks n x n dan k adalah sebarang scalar. Kita mulai dangan mengkaji hubungan yang mungkin antara det(A), det(B),

det(kA), det(A + B), dan det(AB)

karena semua factor umum dari setiap baris suatu matriks bisa dipindah melalui tanda setiap det, dan karena setiap n baris dalam KA mempunyai suatu factor umum  k, maka kita peroleh

misalnya,  
                    


Sayangnya, secara umum tidak ada hubungan sedrhana antar determinan – determinan det(A), det(B), dan det (A+B). secara khusus,kami menekankan bahwa det(A+B) biasanya tidak  sama dengan det(A) + det(B). contoh berikut ini mengilustrasikan fakta tersebut,
            Contoh 1 Tinjau
                              




Jawab :
det(A) + det(B) = 1 + 8 = 9
 
            det(A) = (1)(5) - (2)(2) = 5 – 4 = 1 
            det(B) = (3)(3) - (1)(1) = 9 – 1 = 8
            det(A+B) = (4)(8) - (3)(3) = 32 – 9 = 23
            jadi det(A+B) ≠ det(A) + det(B).



SIFAT-SIFAT FUNGSI DETEREMINAN


         

 
Teorema  4. Jika A adalah sembarang matiks kuadrat, maka det (A) =det (At).
  



Pernyataan. Karena hasil ini, maka hampir tiap-tiap teorema mengenai determinan yang mengandung perkataan baris dalam pernyataannya akan benar juga bila perkataan “kolom” disubstitusikan untuk “baris”. Untuk membuktikan pernyataan kolom, kita hanya perlu mentranspos (memindahkan) matriks yang di tinjau untuk mengubah pernyataan kolom tersebut pada pernyataan baris, dan kemudian menerapkan hasil yang bersesuaian yang sudah kita ketahui untuk baris.
Contoh
Hitunglah determinan dari

Determinan ini dapat di hitung seperti sebelumunya dengan menggunakan operasi baris elementer untuk mereduksi A pada bentuk eelon baris. Sebaliknya, kita dapat menaruh A pada bentuk segitiga bawah dalam satu langkah dengan menambahkan -3 kali kolom pertama pada kolom keempat untuk mendapatkan

Contoh ini menunjukkan bahwa selalu merupakan hal yang bijaksana untuk memperhatikan operasi kolom yang tepat yang akan meringkaskan perhitungan tersebut.
Misalkan A dan B adalah matriks-matriks n x n dan k adalah sebarang skalar. Kita karang meninjau hubungan yang mungkin di antara det(A), det(B), dan 

det(kA), det(A + B), dan det(AB)

karena sebuah faktor bersama dari sebarang baris matriks dapat dipindahkan melalui tanda det, dan karena setiap baris n baris dalam kA mempunyai factor bersama sebesr k, maka kita dapatkan
det(kA) = kn det(A)




Teorema 5.  Misalkan A, A’, dan A” adalah matiks n x n yang hanya berbeda dalam garis tunggal, katakanlah baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke r dari A dan dalam baris ke r dari A’. Maka
det(A”) = det (A) + det (A’)
Hasil yang serupa berlaku untuk kolom-kolom itu.
  





Contoh 
Dengan menghitung determinan, anda dapat memeriksa bahwa


Teorema 6.  Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka
det(AB) = det(A)det(B)
 
  



Contoh
Tinjaulah matriks-matriks                   
                       
Kita peroleh det(A) det(B) = (1) (-23) = -23. Sebaliknya dengan perhitungan langsung maka det(AB) = -23, sehingga det(AB) = det(A) det(B).


Teorema 7.  Sebuah matriks A kuadrat dapat di balik jika dan hanya jika det(A) ¹0
 
  


Contoh
Karena baris pertama dan baris ketiga dari
                                    
Sebanding, maka det(A) = 0, jadi A tidak dapat dibalik
Labels: Determinan Metode Chio B
Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)