CONTOH DAN PENGERTIAN PERTIDAKSAMAAN

PERTIDAKSAMAAN


A. Pengertian Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang mneggunakan tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥) dan mengandung variakel.
Pertidaksamaan dinotasikan dengan tanda:
1. < lebih kecil
2. > lebih besar
3. ≤ lebih kecil atau sama dengan
4. ≥ lebih besar atau sama dengan


X<a a
Jika x<a maka nila x yang memenuhi lebih kecil dari a. dalam garis bilangan dilukiskan seperti gambar diatas. Perhatikan noktah berlubang di titik a yang menandakan bahwa x=a tidak masuk dalam himpunan  



                            a

jika  x≥a maka nilai x yang memenughi lebih besar atau sama dengan a. dalam garis bilangan dilukiskan seperti gambar diatas. Perhatikan noktah penuh di titik a yang menandakan bahwa x= a masuk dalam himpunan {x|x≥a}.

contoh soal:
a. Lukislah garis bilangan dari x≥3 !
b. Lukislah garis bilangan dari -2≤x<3 !

Jawab:
a. x≥3 garis bilangan
b. -2≤x<3 garis bilangan


a.            3 x≥3


b.
-2   -2≤x<3      3






B. Interval Bilangan
Interval atau selang dapat dinyatakan dalam garis bilangan dan himpunan. Secara umum pertidaksamaan merupakan cara untuk menyatakan suatu selang atau interval. Tanda “<” dan “>” menyatakan selang terbuka dan pada garis bilangan ditandai dengan noktah kosong( ). Sedangkan tanda “≤” dan “≥” menyatakan selang tertutup dan pada garis bilangan ditandai dengan noktah berisi (•).
Mengenai interval dapat dijelaskan sebagai berikut.
Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar dari a dan kurang dari b. Jadi (a,b) = {x | a < x < b}.
Sedangkan interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi [a,b] = {x | a ≤ x ≤ b}. Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut.

Penulisan Interval Penulisan Himpunan Dalam Garis Bilangan


c. Sifat-Sifat Pertidaksamaan
1. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika ditambah atau dikurang dengan suatu bilangan atau suatu akspresi matematika tertentu.
Jika a>b, maka:
a+c >b+c ; a-c > b-c
jika a<b, maka :
a+c<b+c ; a-c < b-c

contoh:
tentukan nilai x dari :
a. X+3>4 b. x-2≤5

Jawab:
a. X+3 >4   x+3+3>4-3   x>1
b. X-2 ≤5  x-2+2 ≤ 5+2  x≤7
2. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika dikali atau dibagi dengan suatu bilangan positif.
Jika a>b dan c>0, maka ;ac>bc; 
Jika a>b dan c>0, maka ; ac<bc dan  
Contoh:
Tentukan nilai  dari a.   b.  

Jawab:
a.  
b.  
3. Tanda pertidaksamaan akan berbalik jika di kali atau di bagi dengan suatu bilangan negatif.
a. Jika a>b dan c<0, maka ;ac<bc ; 
b. Jika a<b dan c<0, maka ;ac>bc ; 

Contoh :
Tentukan nilai   dari :
a.  
b.  

Jawab:
a.  
b.  


4. Pemangkatan pertidaksamaan
a. Jika  
1.   3. 
2. 4. 
Dan seterusnya secara umum  ,n bilangan asli

b. Jika 
1.   3. 
2.   4. 
Dan seterusnya secara umum   jika n bilangan genap dan   jika n bilangan ganjil

Contoh:
a.   c.  
b.   d.  

Jawab:
a.  
b.  
c.  
d.  




C. Bentuk-bentuk Pertidaksamaan

Ada beberapa bentuk petidaksamaan,diantaranya adalah:

1. Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat (pertidaksamaan pangkat dua) adalah suatu pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya dua.
seperti halnya persamaan kuadrat, pertidaksamaan kuadrat dapat di tulis dalam bentuk baku (bentuk umum) sebagai berikut:
•  
•  
Dengan  

Langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah:

1. Berilah nilai-nilai nol(jika ada)dari bagian ruas kiri pertidaksamaan.
2. Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh di langkah 1 pada diagram garis bilang.
3. Tentukan tanda-tanda interval yang diperoleh pada langkah 2 dengan cara mengambil nilai uji yang berada dalam masing-masing interval.
4. Tentukan interval yang memenuhi pertidaksamaan berdasarkan tanda-tanda interval diatas.


Contoh:
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat  

Jawab:
Langkah 1
Berilah nilai-nilai nol bagian ruas kiri pertidaksamaan



Langkah 2
Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh dilangkah 1 pada diagram garis bilangan.


1 3

Lnagkah 3
Tentukan tanda-tanda interval yang diperoleh pada langkah 2 dengan cara mengambil nilai uji yang berada dalam masing-masing interval. Misalnya diambil nilai uji x=0 (berada dalam interval x<1), x=2 (berada dalam interval  ), dan x=4 (berada dalam interval x>3).

Nilai uji Nilai  
Tanda interval
  + atau > 0
  - atau < 0
  + atau > 0

Berdasarkan hasil perhitungan pada tabel diatas tanda-tanda interval dituliskan pada interval-interval yang sesuai.
                        
                   +      -       +

                      1        3



Langkah 4
Berasarkan tanda-tanda interval di atas, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan  
jadi,himpunan penyelesaiannya adalah HP= { .



2. Pertidaksamaan Pecahan

Pertidaksamaan yang memuat peubah x pada bagian penyebut dari suatu pecahan pecahan disebut pertidaksamaan peahan.
Ada 4 macam bentuk pecahan, yaitu:
1.  
2.  
3.  
4.  

Dengan   merupakan fungsi-fungsi dalam x, dan  
Contoh pertidaksamaan pecahan antara lain:
1.  
2.  


Penyelesaian pertidaksamaan berbentuk pecahan dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan, melalui langkah-langkah sebagai berikut:
1. Carilah nilai-nilai nol bagian pembilang dan bagian penyebut dari bentuk-bentuk peacahan  .
2. Gambarlah nilai nol itu pada bagian diagram garis bilangan,sehingga diperoleh interval-interval.
3. Tentukan tanda-tanda interval dengan cara menyulihakan niali-nilai uji yang berada dalam masing-masing interval.
4. Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh pada langkah 3, kita dapat menentukan interval yang memenuhi itu, perlu diingat adanya syarat bahwa bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol atau  .




Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari  

Jawab:

     

Penyelesaian
Nilai nol bagian pembilang

Nilai nol bagian penyebut


                             
            -1        2
Tanda interval

 

 

 


                     +      -      +

                      -1        2

Jadi Hp= { 



3. Pertidaksamaan Irrasional

Pertidaksamaan irrasional atau pertidaksamaan berbentuk akar adalah pertidaksamaan yang peubahnya terdapat dalam tanda akar.
Ada 8 macam bentuk pertidaksamaan irrasional, yaitu:
1.   5.   
2. 6. 
3. 7.   
4. 8.   

• a bilangan real positif atau nol  .
•    merupakan fungsi dalam x dengan syarat  

Penyelesaian pertidaksamaan irrasional dapat di tentukan dengan menggunakan sifat:

1. Jika 
2.     


penyelesaian pertidaksamaan irrasional dapat ditentukan melalui langkah berikut:
1. Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan dengan tandapertidaksamaan tetap.
2. Berlakukan syarat yang berada dibawah tanda akar, yaitu harus positif atau nol.
3. Interval yang diperoleh dengan cara menggabungkan penyelesaiaan pada langkah 1 dan penyelesaiaan pada langkah 2.


Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaiaan irrasional    

Jawab:
Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan tersebut dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan, dperoleh


2. Tetapkan syarat bagi fungsi bagi fungsi yang berada dalam tanda akar.



3. Interval yang memenuhi diperoleh dengan menggabungkan hasil-hasil pada langkah 1 dan langkah 2 pada diagram garis bilangan seperti gambar berikut:







                          11               

                -2

                -2          11
Dari gambar interval yang mamenuhi adalah  
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 




4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang peubahnya berada dalam tanda-tanda mutlak.

a. Nilai Mutlak dan Sifat-sifatnya

Nilai suatu bilangan dapat didefinisikan :
Nilai mutlak untuk  

     
     
Untuk setiap bilangan real   positif (atau nol jika  


      

Untuk  
a.  
b.  
c.  
d.  

Untuk tiap  
a.  
b.  
c.  
d.  



Untuk menentukan penyelesaian dari suatu persamaan nilai mutlak depat digunakan defenisi nilai mutlak:

Contoh:
a.  
b.  

Jawab:
a. 𝑥−2=1 
   

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1,3}
b.  



Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1,4}

b. Pertidaksamaan nilai mutlak

contoh:
a.  
b.  

jawab:
a.  



Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 

b.  

MACAM-MACAM BILANGAN DAN CONTOHNYA

Dalam ilmu matematika, bilangan dibagi menjadi beberapa macam. Dan menurut definisinya, bilangan adalah sebuah konsep yang dimiliki dan digunakan dalam ilmu matematika sebagai satuan pengukuran. Biasanya, bilangan diwakili dengan menggunakan simbol berupa angka atau lambang bilang. Nah, untuk lebih jelasnya silahkan disimak terkait macam-macam bilangan dan contohnya berikut ini.

Macam – Macam Bilangan dan Contohnya

Bilangan terbagi menjadi beberapa jenis dan berikut adalah beberapa diantaranya.

1. Bilangan Asli

Bilangan asli merupakan bilangan positif yang diawali dari angka satu. Yang termasuk bilangan asli adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,….}

2. Bilangan Bulat

Bilangan bulat merupakan kumpulan bilangan yang terdiri dari bilangan bulat negatit, bilangan nol serta bilangan positif. Yang termasuk bilangan bulat adalah {…., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…..}

3. Bilangan Cacah

Bilangan cacah merupakan kumpulan bilangan yang terdiri dari bilangan positif dan bilangan nol. Yang termasuk bilangan cacah adalah {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,….

4. Bilangan Prima

Disebut sebagai bilangan prima karena bilangan tersebut tidak dapat dibagi dengan bilangan lain dan hanya bisa dibagi dengan menggunakan bilangan itu sendiri, bilangan prima lebih besar dari 1. Yang termasuk bilangan prima adalah {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …..}

5. Bilangan Nol

Bilangan nol merupakan bilangan yang terdiri dari satu angka yaitu angka 0

6. Bilangan Rasional

Bilangan rasional dinyatakan dalam bentuk a/b dimana a dan b adalah bagian dari bilangan bulat sedangan b ≠ 0. Contohnya adalah { ¼, ¾, …. }

7. Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional terdiri dari kumpulan bilangan yang tdak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan seperti { √2, √3, √5, √6, √7, ….. }

8. Bilangan Negatif

Bilangan negatif adalah bilangan memiliki nilai negatif. Yang termasuk bilangan negatif adalah { -3, -5, ¼, …. }

9. Bilangan Positif

Semua bilangan selain nol, yang memiliki nilai positif disebut dengan bilangan positif. Yang termasuk bilangan positif adalah {2, 3, 4, 5, ¼, ….}

10. Bilangan Genap

Bilangan genap adalah semua bilangan yang akan habis bila dibagi menjadi 2, seperti {2, 4, 6, 8, 10, 12, ….}

11. Bilangan Ganjil

Disebut dengan bilangan ganjil karena ketika bilangan dibagi 2 masih tersisa 1 yang dapat dinyatakan dengan 2n-1 dimana n adalah bilangan bulat. Yang termasuk bilangan bulat adalah {-3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, …. }

12. Bilangan Komposit
    

Semua bilangan asli yang memiliki nilai lebih dari 1 dan bukan termasu dalam bilangan prima disebut bilangan komposit. Yang termasuk bilangan komposit adalah Contohnya: K = {4, 6, 8, 9, 10, 12, ….}

13. Bilangan Riil

Bilangan yang bisa ditulis dalam bentuk desimal disebut dengan bilangan riil. Yang termasuk bilangan riil adalah { 5/8, log 10, ….}

14. Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan i yang merupakan satuan imajiner, dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i2 = -1. Yang termasuk bilangan Imajiner adalah {i, 4i, 5i, …..

15. Bilangan Kompleks

Semua bilangan kompleks adalah bilangan yang disebut juga dengan a+bi, dimana a,b ϵ R, i2 = -1. A adalah bagian bilangan riil sedangkan b bagian bilangan imajiner. Yang termasuk bilangan kompleks adalah {2-3i, 8+2, …..}

16. Bilangan Kuadrat

Bilangan kuadrat dihasilkan dari perkalian suatu bilangan atau perkalian dengan bilangan itu sendiri. Dimana perkalian dilakukan sebanyak dua kali dan disimbolkan dengan pangkat dua seperti {2², 3²,4²,5²,6²,7²….}

17. Bilangan Romawi

Bilangan romawi adalah sistem penomoran yang berasal dari romawi kuno dengan menggunakan huruf latin untuk melambangkan angka numerik, seperti {I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, XI, X, XI,…..}

Mengetahui dan memahami macam-macam bilangan adalah hal dasar yang harus dikuasai untuk dapat dengan mudah memahami ilmu matematika secara menyeluruh. Semoga bermanfaat.