PERTIDAKSAMAAN
A. Pengertian Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang mneggunakan tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥) dan mengandung variakel.
Pertidaksamaan dinotasikan dengan tanda:
1. < lebih kecil
2. > lebih besar
3. ≤ lebih kecil atau sama dengan
4. ≥ lebih besar atau sama dengan
X<a a
Jika x<a maka nila x yang memenuhi lebih kecil dari a. dalam garis bilangan dilukiskan seperti gambar diatas. Perhatikan noktah berlubang di titik a yang menandakan bahwa x=a tidak masuk dalam himpunan
a
jika x≥a maka nilai x yang memenughi lebih besar atau sama dengan a. dalam garis bilangan dilukiskan seperti gambar diatas. Perhatikan noktah penuh di titik a yang menandakan bahwa x= a masuk dalam himpunan {x|x≥a}.
contoh soal:
a. Lukislah garis bilangan dari x≥3 !
b. Lukislah garis bilangan dari -2≤x<3 !
Jawab:
a. x≥3 garis bilangan
b. -2≤x<3 garis bilangan
a. 3 x≥3
b.
-2 -2≤x<3 3
B. Interval Bilangan
Interval atau selang dapat dinyatakan dalam garis bilangan dan himpunan. Secara umum pertidaksamaan merupakan cara untuk menyatakan suatu selang atau interval. Tanda “<” dan “>” menyatakan selang terbuka dan pada garis bilangan ditandai dengan noktah kosong( ). Sedangkan tanda “≤” dan “≥” menyatakan selang tertutup dan pada garis bilangan ditandai dengan noktah berisi (•).
Mengenai interval dapat dijelaskan sebagai berikut.
Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar dari a dan kurang dari b. Jadi (a,b) = {x | a < x < b}.
Sedangkan interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi [a,b] = {x | a ≤ x ≤ b}. Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut.
Penulisan Interval Penulisan Himpunan Dalam Garis Bilangan
c. Sifat-Sifat Pertidaksamaan
1. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika ditambah atau dikurang dengan suatu bilangan atau suatu akspresi matematika tertentu.
Jika a>b, maka:
a+c >b+c ; a-c > b-c
jika a<b, maka :
a+c<b+c ; a-c < b-c
contoh:
tentukan nilai x dari :
a. X+3>4 b. x-2≤5
Jawab:
a. X+3 >4 x+3+3>4-3 x>1
b. X-2 ≤5 x-2+2 ≤ 5+2 x≤7
2. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika dikali atau dibagi dengan suatu bilangan positif.
Jika a>b dan c>0, maka ;ac>bc;
Jika a>b dan c>0, maka ; ac<bc dan
Contoh:
Tentukan nilai dari a. b.
Jawab:
a.
b.
3. Tanda pertidaksamaan akan berbalik jika di kali atau di bagi dengan suatu bilangan negatif.
a. Jika a>b dan c<0, maka ;ac<bc ;
b. Jika a<b dan c<0, maka ;ac>bc ;
Contoh :
Tentukan nilai dari :
a.
b.
Jawab:
a.
b.
4. Pemangkatan pertidaksamaan
a. Jika
1. 3.
2. 4.
Dan seterusnya secara umum ,n bilangan asli
b. Jika
1. 3.
2. 4.
Dan seterusnya secara umum jika n bilangan genap dan jika n bilangan ganjil
Contoh:
a. c.
b. d.
Jawab:
a.
b.
c.
d.
C. Bentuk-bentuk Pertidaksamaan
Ada beberapa bentuk petidaksamaan,diantaranya adalah:
1. Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat (pertidaksamaan pangkat dua) adalah suatu pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya dua.
seperti halnya persamaan kuadrat, pertidaksamaan kuadrat dapat di tulis dalam bentuk baku (bentuk umum) sebagai berikut:
•
•
Dengan
Langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah:
1. Berilah nilai-nilai nol(jika ada)dari bagian ruas kiri pertidaksamaan.
2. Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh di langkah 1 pada diagram garis bilang.
3. Tentukan tanda-tanda interval yang diperoleh pada langkah 2 dengan cara mengambil nilai uji yang berada dalam masing-masing interval.
4. Tentukan interval yang memenuhi pertidaksamaan berdasarkan tanda-tanda interval diatas.
Contoh:
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
Jawab:
Langkah 1
Berilah nilai-nilai nol bagian ruas kiri pertidaksamaan
Langkah 2
Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh dilangkah 1 pada diagram garis bilangan.
1 3
Lnagkah 3
Tentukan tanda-tanda interval yang diperoleh pada langkah 2 dengan cara mengambil nilai uji yang berada dalam masing-masing interval. Misalnya diambil nilai uji x=0 (berada dalam interval x<1), x=2 (berada dalam interval ), dan x=4 (berada dalam interval x>3).
Nilai uji Nilai
Tanda interval
+ atau > 0
- atau < 0
+ atau > 0
Berdasarkan hasil perhitungan pada tabel diatas tanda-tanda interval dituliskan pada interval-interval yang sesuai.
+ - +
1 3
Langkah 4
Berasarkan tanda-tanda interval di atas, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan
jadi,himpunan penyelesaiannya adalah HP= { .
2. Pertidaksamaan Pecahan
Pertidaksamaan yang memuat peubah x pada bagian penyebut dari suatu pecahan pecahan disebut pertidaksamaan peahan.
Ada 4 macam bentuk pecahan, yaitu:
1.
2.
3.
4.
Dengan merupakan fungsi-fungsi dalam x, dan
Contoh pertidaksamaan pecahan antara lain:
1.
2.
Penyelesaian pertidaksamaan berbentuk pecahan dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan, melalui langkah-langkah sebagai berikut:
1. Carilah nilai-nilai nol bagian pembilang dan bagian penyebut dari bentuk-bentuk peacahan .
2. Gambarlah nilai nol itu pada bagian diagram garis bilangan,sehingga diperoleh interval-interval.
3. Tentukan tanda-tanda interval dengan cara menyulihakan niali-nilai uji yang berada dalam masing-masing interval.
4. Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh pada langkah 3, kita dapat menentukan interval yang memenuhi itu, perlu diingat adanya syarat bahwa bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol atau .
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari
Jawab:
Penyelesaian
Nilai nol bagian pembilang
Nilai nol bagian penyebut
-1 2
Tanda interval
+ - +
-1 2
Jadi Hp= {
3. Pertidaksamaan Irrasional
Pertidaksamaan irrasional atau pertidaksamaan berbentuk akar adalah pertidaksamaan yang peubahnya terdapat dalam tanda akar.
Ada 8 macam bentuk pertidaksamaan irrasional, yaitu:
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
• a bilangan real positif atau nol .
• merupakan fungsi dalam x dengan syarat
Penyelesaian pertidaksamaan irrasional dapat di tentukan dengan menggunakan sifat:
1. Jika
2.
penyelesaian pertidaksamaan irrasional dapat ditentukan melalui langkah berikut:
1. Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan dengan tandapertidaksamaan tetap.
2. Berlakukan syarat yang berada dibawah tanda akar, yaitu harus positif atau nol.
3. Interval yang diperoleh dengan cara menggabungkan penyelesaiaan pada langkah 1 dan penyelesaiaan pada langkah 2.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaiaan irrasional
Jawab:
Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan tersebut dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan, dperoleh
2. Tetapkan syarat bagi fungsi bagi fungsi yang berada dalam tanda akar.
3. Interval yang memenuhi diperoleh dengan menggabungkan hasil-hasil pada langkah 1 dan langkah 2 pada diagram garis bilangan seperti gambar berikut:
11
-2
-2 11
Dari gambar interval yang mamenuhi adalah
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {
4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang peubahnya berada dalam tanda-tanda mutlak.
a. Nilai Mutlak dan Sifat-sifatnya
Nilai suatu bilangan dapat didefinisikan :
Nilai mutlak untuk
Untuk setiap bilangan real positif (atau nol jika
Untuk
a.
b.
c.
d.
Untuk tiap
a.
b.
c.
d.
Untuk menentukan penyelesaian dari suatu persamaan nilai mutlak depat digunakan defenisi nilai mutlak:
Contoh:
a.
b.
Jawab:
a. 𝑥−2=1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1,3}
b.
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1,4}
b. Pertidaksamaan nilai mutlak
contoh:
a.
b.
jawab:
a.
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {
b.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar