ayo belajar matematika: kalkulus 2

Minggu, 29 Desember 2019

kalkulus 2

Integral Parsial

Dalam pengintegralan, selain operasi biasa atau dengan teknik substitusi, ada teknik lain yaitu integral parsial. Teknik ini digunakan jika pada teknik sebelumnya tidak bisa digunakan. Teknik ini merupakan integral dari turunan hasil kali dua fungsi. Berikut ini adalah konsep integral parsial:

Jika y = U(x) . V(x), maka:

$\frac{dy}{dx}=V(x) \cdot U',(x)+U(x) \cdot V',(x)$

$dy = v(x) \cdot U' (x)dx+U(x) \cdot V' (x)\, dx$

Jika y diganti UV maka:

$d(UV) = V(x) \cdot U' (x)\, dx+U(x) \cdot V'(x)\, dx$

Karena diketahui bahwa $U' (x) dx = dU$ dan $V' (x) dx = dV$ , maka persamaan menjadi:

d(UV) = V . dU + U . dV

U . dV = d(UV) – V . dU

Dengan mengintegralkan kedua ruas dalam persamaan diatas, diperoleh:

Rumus ntegral parsial:

$\int U \cdot dV = UV -\int V \cdot dU$

Perlu diperhatikan untuk memilih U dan dV yang tepat agar pengintegralan memberikan hasil. (dV) harus dipilih yang dapat diintegralkan dengan rumus, sedangkan yang lain menjadi U.

Dalam integral parsial, terkadang bisa menurunkan U dan mengintegralkan dV secara berulang. Jika terjadi proses yang berulang, maka proses dapat diringkas. Sebagai contoh $\int x^2 \cos x\, dx$ adalah:

integral parsial

Maka diperoleh hasil:

$\int x^2 \cos x\, dx = (x^2 \cdot \sin x)-(2x \cdot - \cos x)+(2 \cdot - \sin x)+C$

$=x^2 \sin x+2x \cos x - 2 \sin x + C$

Contoh Soal Integral Substitusi dan Parsial dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Tentukanlah hasil dari $\int \cos^2 2x \sin 2x\, dx$ .

Pembahasan 1:

Misalkan $U = \cos 2x$ dan $\frac{dU}{dx}=-2 \sin 2x$ , maka

dU = -2 sin 2x dx

$-\frac{dU}{2}= \sin 2x\, dx$

Sehingga,

$\int \cos^2 2x \sin 2xdx=\int U^2 (-\frac{1}{2})dU =(-\frac{1}{2})(\frac{u^3}{3})=-\frac{u^3}{6}$

Kemudian $-\frac{u^3}{6}$ disubstitusi dengan nilai U menjadi :

$-\frac{U^3}{6} = -\frac{\cos^3 2x}{6}$

Contoh Soal 2

Tentukan hasil dari $\int\frac{x}{\sqrt{9+x^2}}$

Pembahasan 2:

Misalkan trigonometrinya adalah:

integral substitusi trigonometri

Nilai $x = 3 \tan \theta$ dan $dx = 3 \sec^2 \theta\, d \theta$ dan $x^2 = 9 \sec^2 \theta$ .

Sehingga:

$\int\frac{1}{\sqrt{9+x^2}}\, dx = \int\frac{1}{\sqrt{9+9 \sec^2\theta}}3 \sec^2\theta\, d\theta$

$=\int\frac{1}{3 \sec\theta}3 \sec^2\theta\, d\theta =\int \sec\theta\, d\theta$

$\int\frac{1}{\sqrt{9+x^2}}\, dx = \ln\mid \sec\theta + \tan\mid+C$

Dengan segitiga diatas, nilai sec dan tan bisa diketahui. Sehingga:

$\ln\mid \sec\theta + \tan\mid+C= \ln\mid \frac{\sqrt{9+x^2}}{3}+\frac{x}{3}\mid+C$

$= \ln\mid\frac{x+\sqrt{9+x^2}}{3}\mid+C= \ln\mid x+\sqrt{9+x^2}\mid- \ln\mid 3\mid+C$

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)