rumus reduksi dalam integral

        Anda akan memakai integrasi per bagian ( integration by part ),sebagai berikut:        

∫ u dv  =  u  v  -  ∫ v du

2
    Selesaikan soal di bawah ini :
∫ x ² e  x    dx  =.....
 ∫ x² e ͯ dx  = e ͯ [ x  - 2x + 2 ] + C
Berikut ini adalah pengerjaannya.
∫ x ² e  ͯ  dx  =  x² ( e ͯ ) - 2 ∫ e ͯ  x dx
            =  x² e ͯ  - 2 [ x ( e ͯ ) -  ∫ e ͯ dx ]
           =  x² e ͯ  -  2 x e ͯ  + 2 e ͯ  + C
         = e ͯ [x² -  2 x + 2] + C

3           
Selesaikan soal di bawah ini : 
∫ x ⁿ e ͯ  dx  = 
I ⁿ  = x ⁿ e ͯ  -  n I ⁿ -1
 ∫ x ⁿ e ͯ  dx  =  x ⁿ ( e ͯ )  –  n  ∫  e ͯ x  ⁿ -1    dx
            =  x ⁿ  e ͯ  –  n  ∫  e ͯ x  ⁿ -1    dx
Jika kita tulis ∫ x ⁿ  e ͯ  dx sebagai  I ⁿ
Maka kita dapat menyatakan   ∫  e ͯ x  ⁿ -1    dx sebaagai I ⁿ -1
Jika I ⁿ = ∫ x ⁿ  e ͯ  dx
Maka, I ⁿ=  x ⁿ  e ͯ  - n I ⁿ -1


4
Tinjaulah  ∫ x 2 e ͯ dx
= e ͯ [x 2  - 2x + 2 ] + C

Misalkan  Iⁿ  =  ∫ x ⁿ e ͯ dx                                 n = 2
Dimana  Iⁿ  =  x ⁿ  e ͯ  - n.I ⁿ -1
Kita substitusikan integral tersebut,maka :
  I ₂  = x² e ͯ - 2. I 1  dan
   I ¹ = x² e  ͯ  - 1. I0
                          Jadi , I 0    =  ∫ x 0 e ͯ  dx  + 1 e ͯ  dx  =  ∫ e ͯ  dx = e ͯ   + C             
            Jadi     I ₂       =   x² e ͯ - 2. I 1
                        Dan     I ¹      =   xe ͯ  - e ͯ  + C 1
    I ₂  =   x² e ͯ  - 2 x e ͯ  + 2 e ͯ  + C    
                              = e ͯ  [x² - 2 x+ 2 ]
5
The formula for succes is simp le: practice and concentration
then more practice and more concentration. (Rumus keberhasilan
adalah simpel, yaitu praktik dan konsentrasi kemudian
meningkatkan praktik dan meningkatkan konsentrasi).

Tentukanlah  ∫ x 3  e ͯ  dx
=  e ͯ  [ x 3   - 3x2  +6x -6  ]
Iⁿ  =  x ⁿ  e ͯ  - n.I ⁿ -1          
n  = 3            I 3  =   x3 e ͯ - 3. I 2
n   =  2            I 2  =   x2 e ͯ - 2. I 1
n  =  1            I 1  =   x e ͯ - 1. I 0
dan             I 0    =  ∫ x 0 e ͯ  dx   =  ∫ e ͯ  dx = e ͯ   + C
     I 3  =   x3 e ͯ - 3. I 2
                                 =  x3 e ͯ - 3[  x2 e ͯ + 2. I 1]
                            = x3 e ͯ - 3[  x2 e ͯ  - 2 (x e ͯ  -1. I 0  )]
    =  x3 e ͯ - 3[  x2 e ͯ  - 2 (x e ͯ  - [e ͯ  + C1] )]
    =  x3 e ͯ -  3x2e ͯ  + 6 xeͯ  - 6 eͯ  - 6 C1
    = e ͯ  [x3 - 3x2  + 6 x  - 6 ]  + C 
6
Sekarang marilah mencoba untuk mencari rumus reduksi dari integral berikut                                                                ∫ xn cos x  dx
I n  =  xn  sin x + n x n-1  cos– n ( n    x - 1 ) ∫ x n-2 cos  x  dx
    I n   =   ∫ xn cos x  dx 
           =  xn   ( sin x ) - n ∫ sin  x   xn-1    dx 
         =  xn   sin x  - n  ∫  xn-1  sin  x   dx
Integral tersebut belum merupakan rumus reduksi. Sehingga kita terapkan integral per bagian

I n     =  xn   sin x  - n  ∫  xn-1  sin  x   dx                              
        =   xn   sin x  - n . . . . . . . . .
                   I n  =  xn  sin x + n x n-1  cos  x – n ( n  - 1 ) ∫ x n-2 cos  x  dx
Sekarang Anda akan melihat bahwa integral  ∫ x n-2 cos  x  dx sama dengan integral                     ∫ xn cos x  dx, namun dengan n diganti oleh . . . . . . .
                              n - 2     
artinya   I n  =  xn  sin x + n x n-1  cos  x – n ( n  - 1 ). I n – 2

    7

Tentukanlah    ∫ x2  cos x  dx
I 2  =  x2  sin x + 2x  cos  x – 2.1 I0

Substitusikan  n = 2
Sekarang I0  =   ∫ x0  cos x  dx  =  ∫  cos x  dx  =  sin x  + C1 
Sehingga I2  =   x2  sin x + 2x cos x – 2 sin x  + C

    8 
Tentukanlah rumus reduksi untuk  ∫ xn   sin x  dx
In  =  - xn  cos x + nx sin x – n ( n – 1 ) In -2
Gunakanlah metode intgrasi- per- bagian :
In   = ∫ xn    sin x  dx
     =  xn  ( cos  x ) +  n ∫  cos x  xn-1   dx
     = - xn  cos  x  +  n { xn-1  ( sin  x ) – ( n – 1 ) ∫ sin  x   xn-2   dx }
    = - xn  cos  x  +  nxn-1   sin  x  – n( n – 1 ) In -2
    9
I1  =  - x  cos x +  sin x +C1
Carilah intgral dari    ∫ x3    sin x  dx
Dengan mensubstitusikan  n = 3,   I3  =  - x3  cos x  +  3x2   sin x – 3.2 I1
Dan kemudian I1  = ∫ x  sin x  dx
                             = . . . . . . . . . . .
Sehingga,     I3  =  - x3  cos x  +  3x2   sin x – 6 I1
                     I3  =  - x3  cos x  +  3x2   sin x  +  6 x cos x - 6 sin x + C
    10
 Tentukanlah       ∫0π     xn  cos x  dx
Jika I n   =   ∫ xn cos x  dx,maka
        I n  =  xn  sin x + n x n-1  cos  x – n ( n  - 1 ) In -2
Jika kita sekarang menyatakan   I n  =   ∫0π     xn  cos x  dx, maka kita harus memasukkan batas – batasnya ke dalam hasil di ruas kanan  :
  I n  = [ xn  sin x + n x n-1  cos  x]0π
  I n  = [ 0  +  n  π  n - 1 ( -1 )]-[ 0 + 0 – n ( n - 1) In -2
    I n  = - n  π  n – 1   –  n ( n - 1) In -2

11
Carilah integral  I n  =   ∫0π     x4 cos x  dx, dengan mensubstitusikan n = 4, maka
    I 4  = - 4π 3   –  4.3 I2

Dan substitusikan   n = 2 untuk mencari   I 2 , yaitu  I 2

      I 2  = - 2π    –  2.1 I0
Dan I 0  =  ∫0π  x0 cos x dx   = ∫0π  cos x dx = [ sin x ] 0π = 0
Sehingga kita peroleh   I 4   =  - 4π 3   –  12 I2
   I 2  =  - 2π    –  2 I0

∫0π     x4 cos x  dx   =   I 4    =   -  4π 3  +   24 π
12
Hitunglah  ∫0π     x5 cos x  dx
I 5    =   -  5π 4  +   60 π2 – 240
Sehingga :
I n  = - n π n – 1   –  n ( n - 1) In -2
I 5  = - 5π 4   –  5.4 I3 
I 3  = - 3π 2   –  3.2 I1 
Dan I 1  =  ∫0π     x cos x  dx [ (x sin x) ] 0π -  ∫0π sin  x dx
           =  [0  -  0] – [ - cos x ] 0x  =  [  cos x ] 0x =  ( -1 ) – ( 1) = -2
I 5  = - 5π 4   –  5.4 I3
I 3  = - 3π 2   –  3.2 I1
I 5  = - 5π 4   +  60π 2  - 240
Rumus – rumus reduksi untuk (a)  ∫   sinn  x  dx dan (b)  ∫   cosn  x  dx
(a)  ∫   sinn  x  dx
Misalkan I n  =  ∫   sinn  x  dx =  ∫   sinn-1  x. sin  x  dx  = ∫   sinn-1  x. d(- cos x)  dx   maka, integral per – bagian akan menghasilkan :
I n  =   sinn-1  x.(- cos x)  +  ( n – 1 )  ∫   cos  x.sin n-2 x . cos x  dx
     = - sinn-1  x. cos x  +  ( n – 1 )  ∫   cos 2  x.sin n-2 x dx
     = - sinn-1  x. cos x  +  ( n – 1 )  ∫   (  1 -  sin 2 x ).sin n-2 x dx
     = - sinn-1  x. cos x  +  ( n – 1 ) {  ∫  sin  n-2  x  dx -  ∫ sin n x dx }
    = - sinn-1  x. cos x  +  ( n – 1 ) I n-2 -  ( n – 1 ) I n
Pindahkan suku di ruas kanan ke ruas kiri, maka kita akan memperoleh :
n. I n= - sinn-1  x. cos x  + ( n – 1 )I n-2
dan akhirnya, jika I n  =  ∫   sinn  x  dx, maka  I n  = - (1/n) sinn-1 x cos x + (n-1)/n. I n-2

13

Tentukanlah           ∫   sin6  x  dx

I6  = - (1/6) sin5 x. cos x - (5/24)  sin3 x. cos x –(5/16) sin x. cos x + (5x/16) + C

I6  = - (1/6) sin5 x. cos x + (5/6).I4
I4  = - (1/4) sin3 x. cos x + (3/4).I2
I2  = - (1/2) sin  x. cos x + (1/2).I0                    I0  = ∫ dx = x + C0
I6  = - (1/6) sin5 x. cos x + (5/6)   [-(1/4)  sin3 x. cos x + (3/4) .I2 ] 
     = - (1/6) sin5 x. cos x  -  (5/24)  sin3 x. cos x + (5/8) [ - (1/2)  sin  x. cos x + x/2 ] + C
    = - (1/6) sin5 x. cos x  -  (5/24)  sin3 x. cos x - (5/16) sin  x. cos x + (5x/16)  + C

14
(b)  ∫   cosn  x  dx
In   = ∫ cosn  x  dx = cos n -1 x. cos  x  dx = cosn-1  x d (sin x)
      =  ∫ cosn-1 x.sin x - ( n - 1)  ∫ sin x. cos n-2  x.(- sin x ) dx
      =  cosn-1 x. sin x   - ( n - 1)  ∫ sin x. cos n-2  x.(- sin x ) dx
      =  cosn-1 x. sin x   + ( n - 1)  ∫ sin 2 x. cos n-2  x. dx
      =  cosn-1 x. sin x   + ( n - 1)  ∫ ( 1 - cos2x ). cos n-2  x dx
      =  cosn-1 x. sin x   + ( n - 1)  { ∫  cosn-2  x -  ∫  cos n  x dx},sehingga

In     = (1/n) cos n-1 x.sin x + (n-1)/n. In-2

15
Carilah integral dari    ∫   cos5  x  dx

∫   cos5  x  dx = (1/5) cos 4 x.sin x +(4/15) cos 2 x.sin x +(8/15) sin x + C
Inilah penyelesaiannya :
I5     = (1/5) cos 4 x.sin x +  (4/5)I3
I3     = (1/3) cos 2 x.sin x +  (2/3)I1    dan
I1     =  ∫cos  x dx  = sin x + C1
I5     = (1/5) cos 4 x.sin x +  (4/5) [ (1/3) cos 2 x.sin x +  (2/3) sin x ] + C
        = (1/5) cos 4 x.sin x +  (4/15)  cos 2 x.sin x  +  (8/15) sin x  + C
Integral  ∫   sin  x  dx  dan integral  ∫   cosn  x  dx dengan batas – batas  x = 0 dan   x = π/2,
Kita sudah mengetahui rumus reduksi :
   ∫   sin  x  dx  =  In   = - (1/n)  sinn-1 x. cos x + (n-1)/n.   In-2
Dengan memasukkan bats-batasnya :
In   = [- (1/n)  sinn-1 x. cos x ] 0π/2   + (n-1)/n. In-2
    = [0 - 0] + (n-1)/n. In-2
    In   =  (n-1)/n. In-2 
Dan jika Anda melakukan proses yang sama dengan rumus reduksi untuk   ∫   cosn   x  dx.
Anda akan mendapat hasil yang persis sama.
Jadi untuk ∫0π/2  sin n  x dx   dan   ∫0π/2  cos n  x dx kita akan memperoleh :     
In   =  (n-1)/n. In-2
Selain itu :
(a)    Jika  n  genap, maka pad akhirnya rumus akan tereduksi menjadi I0
Yaitu ∫0π/2 1  dx  = [x] 0π/2  = - (- 1)      =  I1   = 1
Sekarang, hitunglah    ∫0π/2  sin 5  x dx
I5  = (4/5).(2/3).1  = 8/15
Karena
I5  = (4/5). I3
I3  = (2/3). I1 dan I1  = 1
I5  = (4/5).(2/3).1  = 8/15
Dengan cara yang sama, hitunglah ∫0π/2  cos 6  x dx
I6  = (5π/32)
I6  = (5/6). I4
I4  = (3/2). I2
I2  = (1/2). I0   dan I0      = ( π/2)
I6  = (5/6).(3/2). ( π/2) = (5π/32)
Catatan!!!
Semua bilangan asli dari n sampai 1 muncul secara bergantian di bawah dan atas dari pernyataantersebut. Sebenarnya, jika kita mulai menuliskan bilangan – bilangan ini dengan nilai n ditempatkan pada bagian bawah, kita akan memperoleh hasilnya tanpa bersusah payah.
(n-1)/n . (n-3)/(n-2) . (n-5)/(n-4). . . /. . .dst.
Jika n ganjil,faktor-faktornya akan berakhir dengan 1 di bawah
Sebagai contoh (6.4.2)/(7.5.3.1) dan itu adalah hasilnya.
Jika n genap, faktor 1 muncul di atas dan kemudian kita kalikan dengan faktor π/2.
Sebagai contoh (7.5.3.1. π ) / (8.6.4.2.2)
Jadi,
(a)    ∫0π/2  sin 4  x dx  =. . . . . . . . . .
(b)    ∫0π/2  cos 5  x dx =. . . . . . . . . .
∫0π/2  sin 4  x dx  = (3π/16),      ∫0π/2  cos 5  x dx  =   8/15
Rumus tersebut dikenal dengan sebuta rumus wallis.

16

8/105
Tentukan   ∫0π/2  sin 5  x. cos 2  x dx  =  ∫0π/2  sin 5  x(1- sin 2  x) dx
                        =  ∫0π/2  ( sin 5  x  -  sin 7  x) dx
                                                            =  I5  - I7
       =  . . . . . . . . .
I5  = (4/5).(2/3).1     = 8/15
   I7  = (6.4.2/7.5.3.1)   = 16/35
=  I5  - I7  
=   8/15 - 16/35
=   8/105